Бөлінгіштік және оның қарапайым қасиеттері

       Сандар теориясы Ζ={… -2, -1, 0, 1, 2…} бүтін сандар деп аталатын жиынның қасиеттерін қарастырады. Бүтін сандар жиынның кез келген екі элементін қоссақ, бірінен-бірін алсақ және оларды өзара көбейтсек, тағы да бүтін сандар шығады. Бүтін сандар жиы­нының ондай қасиеттері оның қосу, азайту және көбейту амалдарына қатысты тұйық екенін көрсетеді.

Қосу, азайту және көбейту амалдарына қатысты тұйық болатынын көрсетілген сандар жиынын бүтін сандар сақинаcы дейміз.

Сандар теориясы бүтін сандар сақинасының элементтеріне тән қасиеттерді ғана қарастырады. Бөлінгіштік қасиеттерін айқындау арқылы, біз бүтін сандар сақинасының структурасы жөнінде мол түсінік аламыз.

Бұдан былайғы жерде бүтін сандарды латынның кіші , b, с,... әріптерімен белгілейміз.

Бүтін  мен b сандарының  қатынасы бүтін сан да, сондай-ақ бөлшек сан да болуы мүмкін. Егер ол бүтін сан болса, онда  саны b санына бөлінеді, немесе  санын b саны бөледі, немесе b саны -ның бөлгіші, немесе  санын b-ның еселігі дейміз.

Егер  саны b-ға бөлінсе, оны b/ символымен белгілейміз. Оны  саны b-ға бөлінеді деп оқимыз.

Теорема. =bq теңдігін қанағаттандыратын qZ саны табылса, тек сонда ғана  саны b-ға бөлінеді.

1-қасиеті. Егер   мен b сандарының әрқайсысы үшінші с саны­на бөлінсе, онда олардың қосындысы және айырмасы да сол с санына бөлінеді. 

Дәлелдеу.  және b сандары с санына бөлінетіндіктен:

 = с q₁ , b = с q₂ теңдіктерін қанағаттандыратын q₁ және q₂ сандары табылады. Осы теңдіктерді мүшелеп қосып және азайтып мынаны аламыз:

 ± b = с (q₁ ± q₂), яғни с / ( ± b).

Бөлінгіштіктің бұл қасиеті қосылғыштардың саны екіден артық болса да орындалады.

Салдар. Егер  мен b сандары с-ға бөлінетін болса, онда
к₁   + к₂ b саны да с-ға бөлінеді, мұндағы к₁ мен к₂  – кез келген бүтін сандар

Дәлелдеу. Салдардың шарты бойынша  = с q₁, b = с q₂ теңдік­тері орындалады, бұл теңдіктердің алдыңғысының екі жағын да к₁-ге, соңғысының екі жағын да к₂-ге көбейтіп, оларды мүшелеп қосып, мынаны табамыз:

к₁ а + к₂ b = с (q₁ к₁ + q₂ к₂) , яғни с / (к₁  + к₂ b)

Бөлінгіштіктің 1-қасиетіндегі с санын  мен b сандарының ортақ бөлгіші дейміз.

2-қасиеті. Егер  саны с-ға бөлінетін b санына бөлінсе, онда  саны с санына да бөлінеді.

Дәлелдеу. Қасиеттің шартынан  =bq және b=сq¹ теңдіктері шығады, мұндағы q мен q¹ – бүтін сандар. Екінші теңдіктегі b-ның мәнін бірінші теңдікке қойсақ:  = с( q q¹ )Þс / 

3-қасиеті. Егер  мен b бүтін сандарының әрқайсысы екінші­сіне бөлінсе, онда олардың тең не өзгешелігі тек таңбасында ғана болғаны.