Қалдықпен бөлу теоремасы

Eгер  қатынасы бөлшек сан болса және b-ның -дан аспайтын ең кіші еселігі bq болса, онда

 = b q + r, 0 ≤ r ≤ b (1) теңдігі орындалады, мұндағы r саны -ны b-ға бөлгендегі қалдық деп, ал q саны бөлінді деп аталады.

Теорема (қалдықпен бөлу теоремасы).  мен b бүтін сандары үшін (1) теңдікті қанағаттандыратын q мен r сандары бір мәнді анықталады.

Дәлелдеу. Кері жорып, (1) теңдікті қанағаттандыратын тағы да бір пар q₁ мен r₁ сандары табылады дейік, яғни

=bq₁+r₁, 0≤ r₁≤ b (2),

онда (1)б (2)Þий+к=ий₁+к₁ немесе к-к₁=и(й₁-й)ю Соңғы теңдіктегі r-r₁<b болатын себепті:r-r₁=0 q₁- q=0 немесе r=r₁,q=q₁.

Дербес жағдайда, r=0 болғанда, яғни  санын b-ға бөлгенде, жалғыз ғана q саны табылып, =bq теңдігі орындалады.