Жай сандар, өзара жай сандардың қасиеттері

Анықтама. Егер  мен b бүтін сандары үшін = b q теңдігі орын­далып және b≠1 болса, онда b санын  санының бөлгіші дейміз. 1 мен өзінен басқа бөлгіші болмайтын р санын жай сан дейміз. Жай санның қашан да екі бөлгіші болады: бір саны және сол санның өзі.

Анықтама. Егер  мен b бүтін сандарының ортақ бөлгіштері 1 немесе 1-ге тең болса, онда оларды өзара жай сандар дейміз.

Теорема. Егер р жай сан болса, онда кез келген  саны р-ға бөлінеді, не р-мен өзара жай болады.

Дәлелдеуі. р жай сан болғандықтан, оның тек 1 мен р бөлгіші болады. Сондықтан  мен р сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге немесе р-ға тең. Алдыңғы жағдайда  мен р өзара жай, ал соңғы жағдайда  саны р-ға бөлінеді.

Теорема. Егер (, b)=1, "cÎz, онда (с, b)= (с,b) болады. 

Бұл теореманың таза теориялық маңызы да, практикалық маңызы да зор, атап айтқанда теореманы пайдалана отырып, сандардың ЕҮОБ-ні Евклид алгоритмінсіз табуға болады.

Мысал: (270,189)= (270,27×7)=(270,27)=27.

1-теорема. Егер (, b)=1, с саны b-ға бөлінетін болса, онда с саны b-ға бөлінеді.

Дәлелдеуі. b саны  с сандардың көбейтіндісін бөлетін болған­дықтан, ( с, b) = b, мұндағы (, b)=1 болғандықтан, негізгі теорема бойынша (с,b) = (с, b) = b, яғни с саны b-ға бөлінеді.

2-теорема. Егер  мен с сандарының әрқайсысы (, b)=1,
(с, b)=1 болса, онда олардың көбейтіндісі де (с, b)=1 болады.

Дәлелдеуі. Теореманың шарты бойынша (, b)=1, (с, b)=1 онда алдыңғы теоремадан (с, b)=(с, b)=1 болады.

1-салдар. Егер _1, 2,…, _n сандарының әрқайсысы b мен өзара жай сан болса, онда олардың көбейтіндісі де өзара жай болады, яғни ( _1 2 ..., _n , b)=1.

2-салдар. Егер _1, 2, ..., _n сандар тізбегінің әрбір саны басқа бір b₁, b₂, ..., b_s тізбегінің әрбір санымен өзара жай болса, онда бірінші тізбектің сандарының көбейтіндісі екінші тізбектің сандары­ның көбейтіндісімен өзара жай болады: (_1 2 …, _n, b₁ b_i …b_n)=1.

3-салдар. Егер (,b)=1 болса, онда қандай да бір n,m  Ζ⁺ үшін (ⁿ,b^m)=1.

3-теорема.Егер c саны (,b)=1 сандарының әрқайсысына бөлін­се, онда ол олардың көбейтіндісіне де бөлінеді.